Question

11．設等差數列{a_n}的前項和為S_n，且a₂=2，S₅=15，數列{b_n}的前項和為T_n，且b₁=$\frac{1}{2}$，2nb_n+1=（n+1）b_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數列{a_n}通項公式a_n及前項和S_n；
（Ⅱ） 求數列{b_n}通項公式b_n及前項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差數列的性質可知：S₅=5a₃=15，則a₃=3，d=a₃-a₂=1，a₁=1，根據等差數列通項公式及前n項和公式即可求得a_n及S_n；
（Ⅱ）由題意可知：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{n+1}{n}$，采用累乘法即可求得數列{b_n}通項公式b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用錯位相減法求得數列{b_n}前項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由等差數列{a_n}的公差為d，由等差數列的性質可知：S₅=5a₃=15，則a₃=3，
d=a₃-a₂=1，
首項a₁=1，
∴數列{a_n}通項公式a_n=1+（n-1）=n，
前n項和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$；
（Ⅱ）2nb_n+1=（n+1）b_n（n∈N^*），
則$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{1}$，$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{2}$，$\frac{{b}_{4}}{{b}_{3}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$，…$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{n}{n-1}$，
∴當n≥2時，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1，即b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
當n=1時，b₁=$\frac{1}{2}$，符合上式，
∴數列{b_n}通項公式b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
數列{b_n}前項和T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查等差數列通項公式及前n項和，考查累乘法及“錯位相減法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．