Question

小王2009年12月向銀行貸款20萬元用于購房，分期還款方式是：2010年元月開始，每月向銀行還款一次，每次金額都是m元，到2019年12月全部還清．已知貸款月利率為r，每月利息按復利計算．
①設小王第k次還款后，欠銀行本利金額為a_k，試用含m、r、k的代數式表示a_k；
②若貸款月利率為0.8%，小王每月應向銀行還款多少元？
（參考數據：

1.008100

1.008100-1

≈1.82，

1.008108

1.008108-1

≈1.73，

1.008120

1.008120-1

≈1.62）

Answer 1

分析：①本題是一個應用題，由題意2010年元月開始，每月向銀行還款一次，每次金額都是m元，到2019年12月全部還清，故需要還款120次，由于第k次還款后，欠銀行本利金額為a_k，用列舉法得出a_k的表達式；
②貸款月利率為0.8%，將其代入a_k的表達式，由于a₁₂₀=0，由此方程解出m的值；

解答：解：①為方便，記A=200000元．依題意a₁=A+Ar-m=A（1+r）-m，a₂=a₁+a₁r-m=A（1+r）²-m[1+（1+r）]，…ak=A(1+r)k-m[1+(1+r)+…+(1+r)k-1]=2×105×(1+r)k-

m[(1+r)k-1]

r

．
②依題意，a₁₂₀=0，所以m=

2×105×0.008×1.008120

1.008120-1

≈2592（元）

點評：本題考查指數函數綜合題，解題的關鍵是理解購房貸款復利計算規則，將數列知識應用于復利計算．