Question

（2012•鐵嶺模擬）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足Sn=2n-1（n∈N*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=S_n•a_n，且數列{b_n}的前n項和為T_n，求6a_n-T_n的最大值及此時n的值．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用分組求和，求得前n項和為T_n，確定6a_n-T_n，利用配方法，可求6a_n-T_n的最大值及此時n的值．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1，…（2分）
當n＞1時，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1，
∵a₁=1適合上式，∴{a_n}的通項公式是an=2n-1．…（6分）
（2）bn=(2n-1)2n-1=22n-1-2n-1，…（7分）
∴Tn=(21+23+25+…+22n-1)-(20+21+22+…+2n-1)=

2(1-4n)

1-4

-

1-2n

1-2

=

2•4n-2

3

-2n+1=

2

3

•4n-2n+

1

3

…（11分）
故6an-Tn=-

2

3

•4n+4•2n-

1

3

=-

2

3

(2n-3)2+

17

3

，
所以當n=1或2時，（6a_n-T_n）_max=5…（14分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查配方法求函數的最值，屬于中檔題．