Question

（2012•鐵嶺模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x²，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），求F（x）=f（x）-g（x）的極小值；
（2）在（1）的結(jié)論下，是否存在實(shí)常數(shù)k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立？若存在，求出k和m，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，根據(jù)f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），可求出a，b的值，進(jìn)而求出F（x）的解析式，求導(dǎo)后，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得F（x）的極小值
（2）根據(jù)（1）可得（1，1）是f（x）和g（x）的公共點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)兩個(gè)函數(shù)圖象的公切線為y=2x-1，若存在實(shí)常數(shù)k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立，即f（x）≥2x-1和g（x）≤2x-1同時(shí)成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)法判斷后可得答案．

解答：解：（1）f′(x)=2x，g′(x)=

a

x

+b，代入可得：a=1，b=1
∴F（x）=x²-lnx-x，
∴F′(x)=2x-

1

x

-1=

2x2-x-1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
∴F（x）在（0，1）遞減，（1，+∞）遞增，
∴F（x）的極小值為F（1）=0
（2）由（1）得，（1，1）是f（x）和g（x）的公共點(diǎn)，
f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程是y=2x-1
∴若存在實(shí)常數(shù)k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立
即f（x）≥2x-1和g（x）≤2x-1同時(shí)成立
∵f（x）-2x+1=x²-2x+1=（x-1）²≥0，
∴f（x）≥2x-1
令h（x）=g（x）-2x+1，h′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
∴h（x） 在（0，1）遞增，（1，+∞）遞減，
∴h（x）_max=h（1）=0，
∴h（x）≤0，即g（x）≤2x-1成立
∴存在k=2，m=-1使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中（1）中求出a，b值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．