Question

已知函數
（I）當a=1時,求函數f（x）的圖象在點A（0，f（0）)處的切線方程；
（II）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）是否存在實數a∈(1,2)，使當x∈（0,1）時恒成立？若存在，求出實數a；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）a=1時,,        
于是f（0）=1,f′（0）=1,
所以函數f（x）的圖象在點處的切線方程為y-1=-(x-0)
即x+y-1=0． 
（II）=，
∵，∴ 只需討論的符號． 
i）當a＞2時，＞0，這時f′（x）＞0，所以函數f（x）在（－∞，+∞）上為增函數．
ii）當a= 2時，≥0，函數f（x）在（－∞，+∞）上為增函數
iii）當0＜a＜2時，令f′（x）= 0，解得，．當x變化時，f′（x）和f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在，為增函數，f（x）在為減函數
（Ⅲ）當∈（1，2）時，∈（0，1）．
由（2）知在上是減函數，在上是增函數，
故當x∈（0，1）時，，所以
當x∈（0，1）時恒成立，等價于恒成立
當a∈（1，2）時，，
設g（t）=(1-t)e^t,t∈(0,1)，則，
表明g(t) 在（0，1）上單調遞減，
于是可得g（t）∈(0,1)，即a∈（1，2）時恒成立，
因此，符合條件的實數a不存在.