Question

已知A、B分別是x軸和y軸上的兩個動點，滿足|AB|=2，點P在線段AB上，且（t是不為0的常數），設點P的軌跡方程為C．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程C；
（Ⅱ）若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，試求實數t的取值范圍；
（Ⅲ）若t=2，點M、N是C上關于原點對稱的兩個動點，點Q的坐標為，求△QMN的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設點A（a，0），B（0，b），C（x，y），由題意知所以．再由|AB|=2，能夠推出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）由題意知，，解可得答案；
（Ⅲ）當t=2時，曲線C的方程為，設M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），則．設直線MN的方程為，所以點Q到直線MN的距離，由此可求出△QMN的面積S的最大值．
解答：解：（Ⅰ）設點A（a，0），B（0，b），C（x，y），
∵，即（x-a，y）=t（-x，b-y），即（2分）
則．
又∵|AB|=2，即a²+b²=4．
∴．
∴點P的軌跡方程C：．（5分）
（Ⅱ）∵曲線C為焦點在x軸上的橢圓，
∴，得t²＜1．
又∵t＞0，∴0＜t＜1．（8分）
（Ⅲ）當t=2時，曲線C的方程為．（9分）
設M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），則．
當x₁≠0時，設直線MN的方程為，
則點Q到直線MN的距離，
∴△QMN的面積．（11分）
∴．
又∵，
∴．
∴S²=4-9x₁y₁．
而，
則-9x₁y₁≤4．即．
當且僅當時，
即時，“=”成立．
當x₁=0時，，
∴△QMN的面積．
∴S有最大值．（14分）
點評：本題考查直線的圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．