Question

已知A、B分別是x軸和y軸上的兩個動點，滿足|AB|=2，點P在線段AB上且

AP

=2

PB

，設點P的軌跡方程為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若點M、N是曲線C上關于原點對稱的兩個動點，點Q的坐標為(

3

2

，3)，求△QMN的面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點A、B、P的坐標分別為（a，0）、（0，b）、（x，y），由定比分點坐標公式及|AB|=2建立軌跡方程．
（II）設M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），得到MN的長度，求出點Q到直線MN的距離，代入面積公式運算，應用點M在曲線C上，并結合基本不等式求出面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設點A、B、P的坐標分別為（a，0）、（0，b）、（x，y），
則

x= a 3 y= 2b 3

即

a=3x b= 3 2 y.

由|AB|=2得a²+b²=4，
所以曲線C的方程為

9x2

4

+

9y2

16

=1．（5分）
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），
則|MN|=2

x12+y12

．
當x₁≠0時，設直線MN的方程為y=

y1

x1

x，
則點Q到直線MN的距離h=

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

，
∴△QMN的面積S=

1

2

•2

x12+y12

•

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

=|

3

2

y1-3x1|．（11分）
∴S2=|

3

2

y1-3x1|2=9x12+

9

4

y12-9x1y1．
又∵

9x12

4

+

9y12

16

=1，
∴9x12+

9

4

y12=4．
∴S²=4-9x₁y₁．
而1=

9x12

4

+

9y12

16

≥-2•

3x1

2

•

3y1

4

=-

9x1y1

4

，
則-9x₁y₁≤4．
即S2≤8，S≤2

2

．
當且僅當

3x1

2

=-

3y1

4

時，
即x1=-

1

2

y1時，“=”成立．
當x₁=0時，|MN|=2•

4

3

=

8

3

，
∴△QMN的面積S=

1

2

•

8

3

•

3

2

=2．
∴S有最大值2

2

．（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線和圓錐曲線位置關系的應用．