Question

已知等比數列{x_n}的各項為不等于1的正數.

數列{y_n}滿足=2(a＞0,且a≠1),設y₃=18, y₆=12.

(1)試問數列{y_n}的前多少項和最大，最大值為多少？

（2）試判斷是否存在自然數M，使得當n＞M時，x_n＞1恒成立，若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1)y_n=2log_ax_n,y_n+1=2log_a,

y_n+1-y_n=2(log_ax_n+1-log_ax_n)=2log_a，

∵{x_n}為等比數列，∴為定值.

∴{y_n}為等差數列.

又y₆-y₃=3d=12-18,∴d=-2,

y₁=y₃-2d=22.

∴y_n=y₁+(n-1)d=22+(n-1)×(-2)

=-2n+24(n∈N₊).

∴y_n≥0,即-2n+24≥0，得n≤12.

∵n=12時，y₁₂=0,

∴當n=11或n=12時，S_n取得最大值，且最大值為132.

(2)∵y_n=22+(n-1)(-2)=2log_ax_n,

即12-n=log_ax_n，

∴x_n=a^12-n.又x_n=a^12-n＞1,

當a＞1時，12-n＞0,n＜12;

當0＜a＜1時，12-n＜0,n＞12.

∴當0＜a＜1時，存在M=12.當n＞M時，x_n＞1恒成立.