Question

如圖所示，橢圓的離心率為，且A（0，2）是橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作斜率為1的直線l，設以橢圓C的右焦點F為拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點，若點M為拋物線E上任意一點，求點M到直線l距離的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，b的值，再根據橢圓的離心率求得a值，從而得出橢圓C的方程即可；
（2）由（1）可求得橢圓C的右焦點坐標從而求得拋物線E的方程，而直線l的方程為x-y+2=0，利用點到直線的距離公式求得點M到直線l的距離的函數表達式，最后利用求二次函數最小值的方法即可求出拋物線E上的點到直線l距離的最小值．
解答：解：（1）由題意可知，b=2（11分）
∵
即，∴a²=5（3分）
∴所以橢圓C的方程為：．（4分）
（2）：由（1）可求得橢圓C的右焦點坐標F（1，0）（6分）
∴拋物線E的方程為：y²=4x，
而直線l的方程為x-y+2=0
設動點M為，
則點M到直線l的距離為（8分）
．（13分）
即拋物線E上的點到直線l距離的最小值為．（14分）
點評：本本題主要考查橢圓的基本性質和直線與圓的位置關系、拋物線的方程等．考查用待定系數法求橢圓的標準方程，主要考查橢圓的標準方程的問題．要能較好的解決橢圓問題，必須熟練把握好橢圓方程中的離心率、長軸、短軸、標準線等性質．