Question

如圖所示，橢圓的離心率為，且A（0，1）是橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作斜率為1的直線l，在直線l上求一點M，使得以橢圓C的焦點為焦點，且過點M的雙曲線E的實軸最長，并求此雙曲線E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A（0，1）是橢圓C的頂點得a值，根據離心率為，求出b值，從而求橢圓C的方程；
（2）欲求雙曲線E的方程，只須求出其實軸長即可，而要使雙曲線E的實軸最長，只需||MF₁|-|MF₂||最大即可，根據對稱性知，直線F₂F₁′與直線l的交點即為所求的點M即能使||MF₁|-|MF₂||最大，從而問題解決．
解答：解：（1）由題意可知，b=1（1分）
∵e=
即∴a²=5（3分）
∴所以橢圓C的方程為：（4分）
（2）設橢圓C的焦點為F₁，F₂，
則可知F₁（-2，0），F₂（2，0），
直線l方程為：x-y+1=0（6分）
因為M在雙曲線E上，所以要使雙曲線E的實軸最長，
只需||MF₁|-|MF₂||最大．
又∵F₁（-2，0）關于直線l：x-y+1=0的對稱點為F′₁（-1，-1），
則直線F₂F₁′與直線l的交點即為所求的點M（9分）
∵直線F₂F₁′的斜率為k=，其方程為：y=（x-2）
∴解得
∴M（-，-）（12分）
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁′|-|MF₂||≤|F2F₁′|==
∴a′max=，此時b′=，
故所求的雙曲線方程為=1．（14分）
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程、雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．