Question

已知f（x）是偶函數，且在（-∞，0]上單調遞減，對任意x∈R，x≠0，都有．
（Ⅰ）指出f（x）在[0，+∞）上的單調性（不要求證明），并求f（1）的值；
（Ⅱ）k為常數，-1＜k＜1，解關于x的不等式．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上是增函數，
∵，
∴f（1）+f（1）=-1+2log₂（1+1）=1，
∴．
（Ⅱ）因為f（x）是偶函數，所以，
不等式就是，∵f（x）在[0，+∞）上遞增，∴∴，
k²x²+6kx+9＞x²+9．∴（1-k²）x²-6kx＜0，
①若k=0，則x²＜0，∴不等式解集為?；
②若-1＜k＜0，則，∴不等式解集為；
③若0＜k＜1，則，∴不等式解集為．
分析：（Ⅰ）先利用偶函數的圖象特點判斷出f（x）在[0，+∞）上的單調性；再利用賦值法把1代入即可求出f（1）的值；
（Ⅱ）利用偶函數的性質以及f（1）的值，可以先把轉化為，進而得到，?（1-k²）x²-6kx＜0；再對二此項系數進行討論即可解不等式．
點評：本題主要考查函數單調性和奇偶性的綜合應用問題．偶函數的圖象特點是在關于原點對稱的區間上單調性相反；而奇函數的圖象特點是在關于原點對稱的區間上單調性相同．