Question

已知過橢圓右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，N為弦AB的中點；又函數f（x）=asinx+3bcosx圖象的一條對稱軸方程是，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e與直線ON的斜率；
（Ⅱ）對于任意一點M∈C，總有等式成立，求證：λ²+μ²為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據函數圖象的一條對稱軸方程是，得，取得，，整理得a與b的關系式，從而得出橢圓C的離心率；又橢圓C的方程可化為x²+3y²=3b²將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得P直線ON的斜率；
（II）與是平面內的兩個不共線的向量，由平面向量坐標運算得到：x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，又M∈C，得：λ（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²結合（I）中方程根與系數的關系最后化簡得：λ²+μ²為定值．
解答：解：（I）因為函數圖象的一條對稱軸方程是，
所以對任意的實數x都有，
取得，，整理得，于是橢圓C的離心率，（3分）
由知，橢圓C的方程可化為x²+3y²=3b²，①
又橢圓C的右焦點F為，直線AB的方程為，②
②代入①展開整理得：，③
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點N（x，y），
則x₁，x₂是方程③的兩個不等的實數根，由韋達定理得，

∴x=，，于是直線ON的斜率．
此問用點差法也可（8分）
（II）與是平面內的兩個不共線的向量，由平面向量坐標運算知（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，（10分）
又M∈C，代入①式得：（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²，
展開整理得：λ（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²，④（10分）
（12分）
又A、B兩點在橢圓上，故有x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²
代入④式化簡得：λ²+μ²=1（14分）
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質、三角函數的圖象與性質、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．