Question

已知P（x，y）為函數(shù)y=lnx圖象上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OP的斜率f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令g（x）=x²-ax•f（x），試討論函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，e^a）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知f（x）=

lnx

x

，利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性后，可得f（x）在（0，e）上遞增；f（x）在（e，+∞）上遞減；故f（x）的最大值為f（e）
（II）由區(qū)間的定義可得a＞0，且e^a-a＞0，求出函數(shù)g（x）的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)法分析其單調(diào)性后，分①當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e時(shí)，
②當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e時(shí)，③當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，即a＞2e時(shí)，三種情況討論函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，e^a）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意知f（x）=

lnx

x

，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上遞增；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上遞減；
所以，f（x）的最大值為f（e）=

1

e

．…（4分）
（Ⅱ）∵e^a＞1
∴a＞0，且e^a-a＞0
因?yàn)間（x）=x²-ax•f（x）=g（x）=x²-alnx，
所以g′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
當(dāng)x∈（0，

2a

x

）時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（

2a

x

，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，

2a

x

）上是減函數(shù)，在（

2a

x

，+∞）上是增函數(shù)．
所以，當(dāng)x=

2a

x

時(shí)，g（x）取最小值g（

2a

x

）=

a

2

（1-ln

a

2

）        …（7分）
下面討論函數(shù)g（x）的零點(diǎn)情況．  
①當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e時(shí)，
函數(shù)g（x）在（1，e^a）上無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e時(shí)，

2a

2

=

e

，
又

a

2

＜a＜e^a＜e^2a
∴

2a

2

＜e^a，則1＜

2a

2

＜e^a，
而g（1）=1＞0，g（

2a

2

）=0，g（e^a）＞0
∴g（x）在（1，e^a）上有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，即a＞2e時(shí)，e^a＞

2a

2

＞

e

＞1，
由于g（1）=1＞0，g（

2a

x

）=

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
g（e^a）＞e^2a-alne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函數(shù)g（x）在（1，e^a）上有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，g（x）在（1，e^a）上，有結(jié)論：
當(dāng)0＜a＜2e時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)a=2e 時(shí)，函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞2e時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題比較綜合的應(yīng)用，難度較大，特別是第（II）問(wèn)中分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，一定要引起足夠的重視．