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已知
a
=（cosθ，2），
b
=（
1
5
，sinθ）．
（1）當
a
∥
b
，且θ∈（
π
4
，
π
2
）時，求cosθ-sinθ的值；
（2）若
a
⊥
b
，求
1+sinθ
1-sinθ
+
1-sinθ
1+sinθ
的值．
分析：（1）利用向量共線的充要條件及取銳角時的正弦值與余弦值的大小關系；
（2）利用
a
⊥
b
?
a
•
b
=0即可得出sinθ與cosθ的大小關系，把原式通法化簡利用平方關系即可得出．
解答：解：（1）∵
a
∥
b
，∴sinθcosθ=
2
5
．
∴（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=1-2×
2
5
=
1
5
，
∵θ∈(
π
4
，
π
2
)，∴sinθ＞cosθ，
∴cosθ-sinθ=-
5
5
．
（2）∵
a
⊥
b
，∴
1
5
cosθ+2sinθ=0．
∴cosθ=-10sinθ．
∴
1+sinθ
1-sinθ
+
1-sinθ
1+sinθ
=
(1+sinθ)2+(1-sinθ)2
1-sin2θ
=
2+2sin2θ
cos2θ
=
2(sin2θ+cos2θ)+2sin2θ
cos2θ

=
4sin2θ+2cos2θ
cos2θ
=
4sin2θ+2×100sin2θ
100sin2θ
=
51
25
．
點評：熟練掌握向量共線的充要條件、
a
⊥
b
?
a
•
b
=0、三角函數的單調性、平方關系是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的向量a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=（m+p，n-q），已知a=（cosθ，3），b=(sinθ，3+
2
sinθ)（θ∈R），點N（x，y）滿足
ON
=a⊙b（其中O為坐標原點），則|
ON
|2的最大值為（　　）
A、
2
B、2+
2
C、2-
2
D、2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
b
與k
a
-
b
大小相等，求β-α（k≠0）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），則（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ）．
（1）若α-β=
7π
6
，求
a
•
b
的值；
（2）若
a
•
b
=
4
5
，α=
π
8
，且α-β∈(-
π
2
，0)，求tan（α+β）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2005•朝陽區一模）已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求|
a
|的值；
（Ⅱ）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（Ⅲ）設|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求β-α的值．

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