Question

在平面直角坐標系中，雙曲線Γ的中心在原點，它的一個焦點坐標為(

5

，0)，

e

1=(2，1)、

e

2=(2，-1)分別是兩條漸近線的方向向量．任取雙曲線Γ上的點P，若

OP

=

ae

1+

be2

（a、b∈R），則a、b滿足的一個等式是

 

．

Answer 1

分析：根據

e

1=(2，1)、

e

2=(2，-1)是漸近線方向向量，進而可知雙曲線漸近線方程根據c=

5

，進而求得a和b，求得雙曲線方程，進而根據

OP

=

ae

1+

be2

化簡整理可得答案．

解答：解：因為

e

1=(2，1)、

e

2=(2，-1)是漸近線方向向量，
所以雙曲線漸近線方程為y=±

1

2

x，
又c=

5

，∴a=2，b=1
雙曲線方程為

x2

4

-y2=1，

OP

=

ae

1+

be2

=（2a+2b，a-b），
∴

(2a+2b)2

4

-(a-b)2=1，化簡得4ab=1．
故答案為4ab=1．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了考生分析問題和解決問題的能力．