Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）當時，若存在，使不等式成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）問題等價于，令，問題轉化為求出，利用導數研究函數的單調性，利用函數的單調性求出的最小值，從而求出的最小值即可.

詳解：（1）解：∵

∴

∴當即時，對恒成立

此時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間

當，即時，由，得，由，得

此時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為

綜上所述，當時，的單調遞增區間為,無單調遞減區間；

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為

（2）解：由，得：

當時，上式等價于

令

據題意，存在，使成立，則只需，

令，顯然在上單調遞增

而，

∴存在，使，即

又當時，，單調遞減，當時，，單調遞增

∴當時，有極小值（也是最小值）

∴

∵ ，即，∴，∴

又，且， ∴的最小值為2.