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已知二次函數f（x）的二次項系數a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
（1）若方程f（x）+3a=0有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）的最小值不大于-3a，且函數 $數學公式$ 在R上為減函數，求實數a的取值范圍．

解：（1）設二次函數為f（x）=ax²+bx+c
∵f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
∴-1，2是方程ax²+（b-2）x+c=0的兩個根
∴ $\text{[math]}$
∵方程f（x）+3a=0有兩個相等的實根即
ax²+bx+c+3a=0有兩個相等的實根
∴△=b²-4a（c+3a）=0②
解①②得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）根據題意得 $\text{[math]}$
∵a＞0，所以f（x）的最小值為 $\text{[math]}$
則 $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 在R上是減函數，
$\text{[math]}$ 在R上恒成立
∴ $\text{[math]}$
得到 $\text{[math]}$ ，
綜上所述 $\text{[math]}$
分析：（1）據二次不等式的解集與相應的二次方程的根的關系，判斷出-1，2是方程的根，利用韋達定理列出a，b，c滿足的等式；再利用二次方程有兩個相等的實根，判別式等于0列出關于a，b，c的另一個等式，解方程組求出f（x）的解析式．
（2）通過對二次函數配方求出其最小值，列出不等式求出a的范圍；求出G（x）的導函數，令其大于等于0恒成立，求出a的范圍．
點評：解決二次不等式的解集問題常轉化為二次方程的根問題，利用韋達定理得到系數間的關系；解決函數在某個區間上的單調性已知，求參數的范圍問題，常求出函數的導函數，令導函數大于等于0（或小于等于0）恒成立．

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f(x)

x-1

．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

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（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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