Question

已知函數f（x）=e^x（x²-a），其圖象記為曲線C．曲線C在點A（0，f（0））處切線的斜率為-3．
（Ⅰ）求曲線C在點A處的切線方程；  
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）先由所給函數的表達式，求導數f′（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行直線的斜率相等方程求a的值，進而得到切線方程；
（2）令導數f′（x）＞0或f′（x）＜0，求出函數的單調區間，進而得到函數的極值．

解答：解：f′（x）=e^x（x²+2x-a）
（1）f′（0）=e⁰（0+2×0-a）=-a=-3，解得a=3
所以f（0）=e⁰（0²-3）=-3，
故曲線C在點A處的切線方程為y-（-3）=-3（x-0）
整理得到3x+y+3=0
（2）令f′（x）=e^x（x²+2x-3）=0，得x₁=1，x₂=-3
當x＜-3或x＞1時，f′（x）＞0，當-3＜x＜1時，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-3），（1，+∞）上遞增，（-3，1）上遞減
極大值為f（-3）=e^-3[（-3）²-3]=

6

e3

，極小值f（1）=e¹（1²-3）=-2e．

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎知識，考查運算求解能力．