Question

如圖：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E，連接AE交⊙O于點F，求證：BE•CE=EF•EA．

Answer 1

分析：欲證明BE•CE=EF•EA．在圓中線段利用由切割線定理得EB²=EF•FA，進而利用四邊形BODE中的線段，證得BE=CE即可．

解答：證明：因為Rt△ABC中，∠ABC=90°
所以OB⊥CB
所以CB為⊙O的切線（2分）
所以EB²=EF•FA（5分）
連接OD，因為AB=BC
所以∠BAC=45°
所以∠BOD=90°
在四邊形BODE中，∠BOD=∠OBE=∠BED=90°
所以BODE為矩形（7分）
所以BE=OD=OB=

1

2

AB=

1

2

BC.
即BE=CE．
所以BE•CE=EF•EA．（10分）

點評：此題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應用、與圓有關(guān)的比例線段以及切割線定理，屬于基礎(chǔ)題．