Question

4．已知各項均為正數的等比數列{a_n}的首項a₁=2，S_n為其前n項和，若5S₁，S₃，3S₂成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂a_n，${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，記數列{c_n}的前n項和T_n．若${T_n}≤\frac{2014}{2015}$，求整數n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由5S₁，S₃，3S₂成等差數列，可得2S₃=5S₁+3S₂，化簡得2q²-q-6=0，解出即可得出．
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n得b_n=n，可得${c_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項求和”方法可得T_n，進而得出．

解答 解：（Ⅰ）∵5S₁，S₃，3S₂成等差數列，∴2S₃=5S₁+3S₂，…（2分）
即$2（{a_1}+{a_1}q+{a_1}{q^2}）=5{a_1}+3（{a_1}+{a_1}q）$，
化簡得2q²-q-6=0，
解得q=2或$q=-\frac{3}{2}$（舍），
∴{a_n}的通項公式為${a_n}={2^n}$．…（5分）
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n得b_n=n，∴${c_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$…（8分）
若${T_n}≤\frac{2014}{2015}$，則$\frac{n}{n+1}≤\frac{2014}{2015}$，n≤2014，
∴n_max=2014．…（12分）

點評 本題考查了“裂項求和法”、等比數列的定義通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．