Question

（本小題滿分14分）

已知函數 只有一個零點.

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）若函數在區間上有極值點，求取值范圍；

（Ⅲ）是否存在兩個不等正數，當時，函數的值域也是，若存在，求出所有這樣的正數；若不存在，請說明理由；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；

（Ⅲ）不存在這樣的正數，滿足題意.

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。

（1）因為函數 只有一個零點.

可以知道在x=3處的導數值為零，以及導數為零點只有一個，求解函數的解析式；

（2）因為函數在區間上有極值點，說明了導數在給定區間內有根，然后借助于函數的性質來求取值范圍；

（3）假設存在兩個不等正數，當時，函數的值域也是，根據函數的單調性判定來求解取值。

（Ⅰ） 是的根，并滿足

（Ⅱ）在(0，2)上有極值點

在(0，2)上有根

即在(0，2)上有根

又對稱軸為,且開口向上,如圖所示:

的根設為，且滿足

		0		0
		極大值		極小值

所以 在(0，2)上有極值點時，的取值范圍為

（Ⅲ）,

	(0,1)	1	（1,3）	3
	+
	遞增	4	遞減	0	遞增

假設存在不等正數，得當時，的值域也是

，極值點

（ⅰ）若或，則在上單調遞增

有不合要求，舍去.

（ⅱ）若，在此區間上的最大值為4，不可能等于，不符合題意，舍去（ⅲ）若，在單調遞減

兩式相減并除得——①

兩式相除并開方可得即——②

代入①式得與矛盾.

 綜上所述，不存在這樣的正數，滿足題意.