Question

已知正四棱錐S-ABCD的所有棱長均為

2

，則過該棱錐的頂點S及底面正方形各邊中點的球的體積為

 

．

Answer 1

分析：設球半徑為R，底面中心為O'且球心為O．正四棱錐S-A′B′C′D′中A′B′=1，SA′=

6

2

，算出SO′=1，OO'=SO'-SO=1-R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立關于R的等式，解出R，再利用球的體積公式即可得到外接球的體積．

解答：解：如圖所示，設球半徑為R，底面中心為O'且球心為O，
∵正四棱錐S-A′B′C′D′中A′B′=1，SA′=

6

2

，
∴A′O′=

2

2

，可得SO′=1，OO'=SO'-SO=1-R．
∵在Rt△A′OO'中，A′O²=A′O'²+OO'²，
∴R²=（

2

2

）²+（1-R）²，解之得R=

3

4

，
因此可得外接球的體積V=

4

3

πR³=

9

16

π．
故答案為：

9

16

π．

點評：本題給出正四棱錐的形狀，求它的外接球的體積，著重考查了正棱錐的性質、多面體的外接球、勾股定理與球的體積公式等知識，屬于中檔題．