Question

設a＞0，如圖，已知直線l：y＝ax及曲線C：y＝x²，C上的Q₁的橫坐標為a₁(0＜a₁＜a)．從C上的點Q_n(n≥1)作直線平行于x軸，交直線l于點P_n+1，再從點P_n+1作直線平行于y軸，交曲線C于點Q_n+1．Q_n(n＝1，2，3，…)的橫坐標構成數列{a_n}．

(Ⅰ)試求a_n+1與a_n的關系，并求{a_n}的通項公式；

(Ⅱ)當a＝1，a₁≤時，證明：；

(Ⅲ)當a＝1時，證明：

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：∵Qn(an，an2)，Pn+1(·an2，an2)，Qn+1(·an2，an4)， 　　∴an+1＝·an2， 　　∴an＝·an－12＝(·an－22)2＝()1+2 　　＝()1+2＝ 　　＝…＝ 　　＝＝a． 　　∴an＝a． 　　(Ⅱ)證明：由a＝1知an+1＝an2， 　　∵a1≤，∴a2≤，a3≤． 　　∵k≥1時，ak+2≤a3≤． 　　∴≤＝(a1－an+1)＜． 　　(Ⅲ)證明：由(Ⅰ)知，當a＝1時，an＝， 　　因此＝≤＝(1－a1)a12＜(1－a1)a12·＝＜．