Question

在橢圓+=1 （a＞b＞0）中，記左焦點為F，右頂點為A，短軸上方的端點為B．若該橢圓的離心率是，則∠ABF=    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意得c=a，解出b²=a²-c²=a²．在△ABF中分別計算出|AB|²、|BF|²和|AF|²，可得AF|²=|AB|²+|BF|²，所以△ABF是以AF為斜邊的直角三角形，即∠ABF=90°．
解答：解：∵橢圓的離心率是，
∴c=a，可得|AF|=c+a=（+1）a=a．
而b²=a²-c²=a²，
∴|AB|²=|AO|²+|OB|²=a²．
因為|BF|==a，
所以|AB|²+|BF|²=a²
∵|AF|²=（a）²=a²
∴|AF|²=|AB|²+|BF|²．得△ABF是以AF為斜邊的直角三角形，即∠ABF=90°．
故答案為：90°．
點評：本題給出特殊離心率的橢圓，求橢圓的上頂點對左焦點、右頂點的張角，著重考查了橢圓的標準方程和簡單性質、直角三角形的判定等知識，屬于基礎題．