Question

（本小題滿分12分）已知函數，，
（1）求函數的最值；
（2）對于一切正數，恒有成立，求實數的取值組成的集合。

Answer 1

（1）函數在（0，1）遞增，在遞減。的最大值為.
（2）。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）求解導數，然后根據導數的符號與函數單調性的關系得到判定，求解極值和最值。
（2）要證明不等式恒成立，那么可以通過研究函數的最值來分析得到參數的范圍。
解：（1）

所以可知函數在（0，1）遞增，在遞減。
所以的最大值為.
（2）令函數
得
當時，恒成立。所以在遞增，
故x>1時不滿足題意。
當時，當時恒成立，函數遞增；
當時恒成立，函數遞減。
所以;即 的最大值 
令 ,則
令函數  ,
所以當時，函數遞減；當時，函數遞增；
所以函數，
從而
就必須當時成立。
綜上。