Question

已知函數，其中a>0.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實數a的值；

（Ⅲ）設，求在區間上的最大值（其中e為自然對的底數）。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數的單調遞增區間為（0，2），遞減區間為（－∞，0）和（2，＋∞）；（Ⅱ）；（Ⅲ）在區間上的最大值為０．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求函數的單調區間，首先對函數求導，得函數導函數，直接讓導函數大于0，解出大于零的范圍，就求出增區間，令導函數小于0，解出小于零的范圍，從而求出減區間；（Ⅱ）直線是曲線的切線，由導數的幾何意義，利用切線的斜率即為切點處的導數值，以及切點即在直線上，又在曲線上，即為的共同點，聯立方程組，解方程組，即可求實數的值；（Ⅲ）求在區間上的最大值，可利用導數來求，先求出的解析式，由的解析式求出的導函數，令的導函數，解出的值，從而確定最大值，由于含有參數，因此需分情況討論，從而求得其在區間上的最大值．

試題解析：(Ⅰ）①（）

令，則，又的定義域是

∴函數f(x)的單調遞增區間為（0，2），遞減區間為（－∞，0）和（2，＋∞）（4分）

（II）設切點為則   解得      7分

（III）      

令，則，

①當時，在單調增加      9分

②當時，在單調減少，在單調增加；

若時，；

若時，；        11分

③當時，在上單調遞減，；

綜上所述，時，；

時，。        14分

考點：利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．