Question

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的離心率為，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）直線l₁過橢圓C₁的左焦點F₁，且與x軸垂直，動直線l₂垂直于直線l₂，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（III）設C₂上的兩個不同點R、S滿足，求的取值范圍（O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由離心率為，可得2a²=3b²，利用直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，可求b的值，從而可得橢圓方程；
（II）由|MP|=|NF₂|得動點M的軌跡是以直線x=-1為準線，以F₂為焦點的拋物線，從而可得軌跡C₂的方程；
（III）設出R，S的坐標，利用，可得縱坐標之間的關系，利用基本不等式確定S縱坐標的范圍，進而可求||的取值范圍．
解答：解：（I）由離心率為，得，∴2a²=3b²，
∵直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，
∴
∴b=
∴a=，
∴橢圓方程為            …（3分）
（II）由|MP|=|NF₂|得動點M的軌跡是以直線x=-1為準線，以F₂為焦點的拋物線．
∴軌跡C₂的方程是y²=4x                         …（6分）
（III）設R（，y₁），S（，y₂），則=（，y₁），=（，y₂），
∴=（，y₂-y₁），
∵，∴+y₁（y₂-y₁）=0，
∵y₂≠y₁，∴y₂=-（y₁+），
∵=（y₁+）²=++32≥64，當且僅當=，即y₁=±4等號成立，…（9分）
∵||=，，
∴當，即y₂=±8時，||取得最小值8，
∴||的取值范圍是[8，+∞）                       …（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查拋物線方程，考查向量知識的運用，考查基本不等式，定型定量是關鍵．