Question

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A、B，P是雙曲線C₂：=1右支x軸上方的一點，連接AP交橢圓于點C，連接PB并延長交橢圓于點D．
（1）若a=2b，求橢圓C₁及雙曲線C₂的離心率；
（2）若△ACD和△PCD的面積相等，求點P的坐標（用a，b表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據a=2b，結合橢圓中，，雙曲線中，，即可求得橢圓C₁及雙曲線C₂的離心率；
（2）設P、C的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），根據△ACD和△PCD的面積相等，可得，，分別代入橢圓、雙曲線方程，聯立方程，即可求得點P的坐標．
解答：解：（1）∵a=2b，∴在橢圓C₁：（a＞b＞0）中，
∴橢圓C₁的離心率為；
在雙曲線C₂中，，
∴雙曲線C₂的離心率為；
（2）設P、C的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁）
由題意知A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）
∵△ACD和△PCD的面積相等，
∴|AC|=|PC|
∴，
代入橢圓C₁：得①
∵P（x，y）是雙曲線C₂：=1右支x軸上方的一點，
∴②
②代入①化簡可得
∴x=2a或-a（舍去）
∴
∴點P的坐標為（2a，b）．
點評：本題考查橢圓與雙曲線的標準方程與幾何性質，考查學生的計算能力，解題的關鍵是利用△ACD和△PCD的面積相等，尋求坐標之間的關系．