Question

（難應用舉例）已知向量，．
（1）若△ABC為直角三角形，求k值；
（2）若△ABC為等腰直角三角形，求k值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先表示出向量，對A、B、C分別為直角進行討論即可．
（2）對（1）中解出的k的值進行討論，分別驗證是否為等腰三角形．
解答：解：（1），
①若∠A=90°，則（2-k，-1）•（1，k）=0，∴k=1；
②若∠B=90°，則（2-k，-1）•（k-1，k+1）=0，得k²-2k+3=0無解；
③若∠C=90°，則（1，k）•（k-1，k+1）=0，得k²+2k-1=0，
∴．
綜上所述，當k=1時，△ABC是以A為直角頂點的直角三角形；
當時，△ABC是以C為直角頂點的直角三角形．
（2）①當k=1時，，=；
②當時，，=，
得，，；
③當時，，=，
得，，；
綜上所述，當k=1時，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形．
點評：本題主要考查向量垂直和點乘之間的關系，即兩向量互相垂直則二者點乘為0．