Question

（06年天津卷理）（12分）

已知函數其中為參數，且

       （I）當時，判斷函數是否有極值；

       （II）要使函數的極小值大于零，求參數的取值范圍；

       （III）若對（II）中所求的取值范圍內的任意參數，函數在區間內都是增函數，求實數的取值范圍。

Answer 1

解析： （I）當時則在內是增函數，故無極值。

（II）令得

             

       由（I），只需分下面兩種情況討論。

       ①當時，隨的變化，的符號及的變化情況如下表：

		0
	＋	0	－	0	＋
		極大值		極小值

       因此，函數在處取得極小值且

             

       要使必有可得

             

       由于故

              或

       ②當時，隨的變化，的符號及的變化情況如下表：

				0
	＋	0	－	0	＋
		極大值		極小值

 

       因此，函數在處取得極小值且

             

       若則矛盾。所以當時，的極小值不會大于零。

       綜上，要使函數在內的極小值大于零，參數的取值范圍為

             

       （III）由（II）知，函數在區間與內都是增函數。

       由題設，函數在內是增函數，則須滿足不等式組

              　　　或

       由（II），參數時，要使不等式關于參數恒成立，必有即

       綜上，解得或所以的取值范圍是

             

【高考考點】運用導數研究函數的單調性及極值　解不等式等基礎知識

【易錯點】：求極小值以及利用導函數大于零區間即原函數增區間列出不等式組

【備考提示】：掌握利用導數的方法求解函數單調性問題的基本方法