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已知定義在R上的函數f(x)=x2(ax-3),其中a為常數.
(1)若x=1是函數f(x)的一個極值點,求a的值;
(2)若函數f(x)在區間(-1,0)上是增函數,求a的取值范圍;
(3)若函數g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0處取得最大值,求正數a的取值范圍.
【答案】分析:(1)由x=1是函數f(x)的一個極值點則知f'(1)=0,代入導函數即可;
(2)要求函數f(x)在區間(-1,0)上是增函數,則要求導函數f'(x)在區間(-1,0)大于等于零即可,另外要注意對a的討論;
(3)要求函數g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0,2],在x=0處取得最大值,即求函數g(x)的極值并將之與函數端點值
g(0),g(2)進行比較大小,得出在函數g(x)[0,2]上的最大值只能為g(0)或g(2),再根據條件在x=0處取得最大值,得到g(0)≥g(2)即可
解答:解:(1)∵f(x)=ax3-3x2
∴f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
∵x=1是f(x)的一個極值點,
∴f'(1)=0,
∴a=2
(2)①當a=0時,f(x)=-3x2在區間(-1,0)上是增函數,∴a=0符合題意;
②當a≠0時,f'(x)=3ax,令f'(x)=0得:x1=0,x2=
當a>0時,對任意x∈(-1,0),f'(x)>0,
∴a>0 (符合題意)
當a<0時,當時,f'(x)>0,
,∴-2≤a<0(符合題意)
綜上所述,a≥-2.
(3)a>0,g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,x∈[0,2].
g'(x)=3ax2+2(3a-3)x-6=3[ax2+2(a-1)x-2],
令g'(x)=0,即ax2+2(a-1)x-2=0(*),顯然有△=4a2+4>0.
設方程(*)的兩個根為x1,x2,由(*)式得,不妨設x1<0<x2
當0<x2<2時,g(x2)為極小值
所以g(x)在[0,2]上的最大值只能為g(0)或g(2)
當x2≥2時,由于g(x)在[0,2]上是單調遞減函數
所以最大值為g(0),所以在[0,2]上的最大值只能為g(0)或g(2)
又已知g(x)在x=0處取得最大值
所以g(0)≥g(2)
即0≥20a-24,解得a≤,又因為a>0,所以
故答案為:(1)a=2;(2)a≥-2;(3)
點評:本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值,關鍵在于比較函數在(a,b)內所有極值與端點函數f(a),f(b) 的大小,從而得到函數的最值,另外還有分類討論的思想,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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