Question

（本小題滿分14分）

對(duì)于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為和，即，.

（1）求證：；

（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，問是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)嗎？若是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明的理由.

Answer 1

解析：（1）若，則顯然成立；若，設(shè)，則，

，故.                             …………4分

（2）有實(shí)根，.又，所以，

即的左邊有因式，

從而有.    …………6分

，要么沒有實(shí)根，要么實(shí)根是方程的根.若沒有實(shí)根，則；若有實(shí)根且實(shí)根是方程的根，則由方程，得，代入，有.由此解得，再代入得，由此，故a的取值范圍是.           …………10分

（3）由題意：是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)則，設(shè)，是上的單調(diào)增函數(shù)，則，所以，矛盾.若，是上的單調(diào)增函數(shù)，則，所以，矛盾，故，所以是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).         …………14分