Question

（07年全國卷Ⅰ）已知橢圓的左右焦點分別為、，過的直線交橢圓于B、D兩點，過的直線交橢圓于A、C兩點，且，垂足為P

（Ⅰ）設P點的坐標為，證明：；

（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值。

Answer 1

解析：證明（Ⅰ）橢圓的半焦距，

由知點在以線段為直徑的圓上，

故，

所以，．

（Ⅱ）（）當的斜率存在且時，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．

設，，則

，，

；

因為與相交于點，且的斜率為．

所以，．

四邊形的面積

．

當時，上式取等號．

（）當的斜率或斜率不存在時，四邊形的面積．

綜上，四邊形的面積的最小值為．