Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（1）求函數的單調區間；

（2）設函數，存在實數， ，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)f(x)在(－∞，0)上單調遞增，在(0，＋∞)上單調遞減；(2).

【解析】分析：（1）確定函數的定義域，求到數，利用導數的正負，即可求解函數的單調區間；

（2）假設存在，使得成立，則，分類討論求最值，即可求實數的取值范圍．

詳解：(1)∵函數的定義域為R，f′(x)＝－，

∴當x<0時，f′(x)>0，當x>0時，f′(x)<0，

∴f(x)在(－∞，0)上單調遞增，在(0，＋∞)上單調遞減．

(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，則2[φ(x)]min<[φ(x)]max.

∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，

∴.

①當t≥1時，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上單調遞減，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；

②當t≤0時，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上單調遞增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；

③當0<t<1時，若x∈[0，t)，φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上單調遞減，

若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上單調遞增，∴2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，

即2·<max{1，}．(*)

由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上單調遞減，

故≤2·≤2，而≤≤，∴不等式(*)無解．

綜上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－，＋∞)，使得命題成立．