Question

【題目】已知函數（為自然對數的底，為常數，）有兩個極值點，且.

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）首先通過導數運算將極值點問題轉化為方程解的問題，從而轉化成兩個函數圖像交點問題，再根據導數的應用確定函數的極值點、單調性，從而畫出簡圖，判斷出所求范圍；（Ⅱ）首先根據隱含條件消元，將不等式轉化為關于的不等式，從而構造函數，建立函數模型，再通過分類討論該函數的單調性，確定實數的取值范圍.

（Ⅰ），由得，

依題意，該方程有兩個不同正實數根，記，則，

當時，；當時，，

所以函數在處取得最小值，所以的取值范圍是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，且，所以，，所以，

因此恒成立，即恒成立，

即，設，即在上恒成立，

從而，記，， ，

① 當時，，所以，從而，

則在區間上單調遞減，所以當時，恒成立；

② 時，等價于，，

所以有兩根，且，可以不妨設，

在時成立，所以在區間上單調遞增，當時，，即在上不恒成立，

綜上，的取值范圍是.