Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左右焦點(diǎn)分別為，且，

點(diǎn)（1，）在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314283162086712/SYS201301131429192146391904_DA.files/image003.png">,所以c=1,所以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),再根據(jù)點(diǎn)P（1，）在橢圓C上,可知|PF₁|+|PF₂|=2a,求出a,進(jìn)而得到b,橢圓方程確定.

(2)設(shè)直線，因?yàn)檫^的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),所以的面積可表示為,因而直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及可得到S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)S=,可得到關(guān)于t的方程求出t的值，問題得解.

（1）

，故所求直線方程為： .

考點(diǎn)：橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系.

點(diǎn)評：橢圓的定義是求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的重要工具，要注意靈活運(yùn)用，能直到化繁為簡，簡化計(jì)算的目的.直線與橢圓相交時(shí)要注意利用韋達(dá)定理及判別式解決.