Question

（本小題滿分13分）

如圖6所示，在直角坐標平面上的矩形中，，，點，滿足，，點是關于原點的對稱點，直線與相交于點．

（Ⅰ）求點的軌跡方程；

（Ⅱ）若過點的直線與點的軌跡相交于，兩點，求的面積的最大值．

              圖6

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】（Ⅰ）設點的坐標為，由圖可知，，，

．

由，得點的坐標為；

由，得點的坐標為

．               ……分

于是，當時，直線的方程為

，                 ……①

直線的方程為． ……②

①②，得，即．

當時，點即為點，而點的坐標也滿足上式．      

故點的軌跡方程為．                                                     ……分

（Ⅱ）設過點的直線的方程為，且設，．

由得．    ……③

由于上述方程的判別式，所以，是方程③的兩根，

根據求根公式，可得．

又，所以的面積．              ……分

令，則．

于是，．

記，，則．

因為當時，，所以在上單調遞增．

故當時，取得最小值，此時取得最大值．

綜上所述，當時，即直線垂直于軸時，的面積取得最大值．

       ……分