Question

已知△ABC，∠ACB=90°，平面ABC外一點P滿足PC=4，P到兩邊AC，BC的距離都是2

3

，則PC與平面ABC所成角的大小為（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

Answer 1

分析：設P點在ABC平面投影點為O，過P點作BC邊的垂線垂足為D，連接OP，OC，OD，根據，∠ACB=90°，平面ABC外一點P滿足PC=4，P到兩邊AC，BC的距離都是2

3

，我們分別求出CD，OD，OP的長，進而解出∠PCO的大小，即可得到PC與平面ABC所成角的大小．

解答：解：設P點在ABC平面投影點為O，過P點作BC邊的垂線垂足為D，
連接OP，OC，OD，如圖所示：

則∠PCO即為PC與平面ABC所成角的平面角
∵P到兩邊AC，BC的距離都是2

3

，
故O點在∠ACB的角平分線上，即∠OCD=45°
由于PC為4，PD為2

3

，則CD為2．
則△PCD在底面上的投影△OCD為等腰直角三角形．
則OD=CD=2，然后得CO=2

2

，
根據勾股定理得PO=2

2

=CO，
∴∠PCO45°．
故選B

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中P點在ABC平面投影點為O，構造出∠PCO即為PC與平面ABC所成角的平面角，將線面夾角問題轉化為解三角形問題是解答本題的關鍵．