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已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長為4，且過點（
3
，
1
2
）．
（I）求橢圓的方程；
（II）設A，B，M是橢圓上的三點．若
OM
=
3
5
OA
+
4
5
OB
，點N為線段AB的中點，C（-
6
2
，0），D（
6
2
，0），求證：|NC|+|ND|=2
2
．
（Ⅰ）由題意：2a=4，所以a=2，
∵橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1過點（
3
，
1
2
），
∴
3
4
+
1
4b2
=1
∴b2=1
∴所求橢圓方程為
x2
4
+y2=1；
（II）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），則
x12
4
+y12=1，
x22
4
+y22=1
∵
OM
=
3
5
OA
+
4
5
OB
，
∴M（
3
5
x1+
4
5
x2，
3
5
y1+
4
5
y2）
∴
(
3
5
x1+
4
5
x2)2
4
+(
3
5
y1+
4
5
y2)2=1
∴
x1x2
4
+y1y2=0
∵點N為線段AB的中點
∴N（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）
∴
(
x1+x2
2
)2
2
+2(
y1+y2
2
)2=
1
2
(
x12
4
+y12)+
1
2
(
x22
4
+y22)+
x1x2
4
+y1y2=1
∴線段AB的中點N在橢圓
x2
2
+2y2=1上
∵橢圓
x2
2
+2y2=1的兩焦點為C（-
6
2
，0），D（
6
2
，0），
∴|NC|+|ND|=2
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+
3
和2-
3
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當d=1時
1
a2
+
1
b2
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知半徑為r的圓M的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD相互垂直且交點為P．
精英家教網
（1）若四邊形ABCD中的一條對角線AC的長度為d（0＜d＜2r），試求：四邊形ABCD面積的最大值；
（2）試探究：當點P運動到什么位置時，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為多少？
（3）對于之前小題的研究結論，我們可以將其類比到橢圓的情形．如圖2，設平面直角坐標系中，已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD相互垂直且交于點P．試提出一個由類比獲得的猜想，并嘗試給予證明或反例否定．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•武漢模擬）已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
3
，半焦距為c（c＞0），且a-c=1．經過橢圓的左焦點F，斜率為k1（k1≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）當k1=1時，求S△AOB的值；
（Ⅲ）設R（1，0），延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為k2，求證：
k1
k2
為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
3
，點P (
3
5
5
，-2)在此橢圓上，經過橢圓的左焦點F，斜率為K的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）當K=1時，求S△AOB的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•紅橋區二模）已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=l（a＞b＞0）的一個頂點坐標為B（0，1），若該橢圓的離心率等于
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）設Q是橢圓上任意一點，F1F2分別是左、右焦點，求∠F1QF2的取值范圍；
（3）以B為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個？若不存在，請說明理由．

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