Question

【題目】借助計算機（器）作某些分段函數圖象時，分段函數的表示有時可以利用函數，例如要表示分段函數g（x）=總可以將g（x）表示為g（x）=xh（x-2）+（-x）h（2-x）．

（1）設f（x）=（x2-2x+3）h（x-1）+（1-x2）h（1-x），請把函數f（x）寫成分段函數的形式；

（2）已知G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+logaxh（x-1）是R上的減函數，求a的取值范圍；

（3）設F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），求函數F（x）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=； （2）≤a＜； （3）當a≤-時，最小值為-a+；當a≥時，最小值為為a+；當-＜a＜時，最小值為F（a）=a2+1．

【解析】

（1）分當x＞1、當x＝1和當x＜1時3種情況加以討論，分別根據函數的對應法則代入，可得f（x）相應范圍內的表達式，最后綜合可得函數f（x）寫成分段函數的形式；

（2）運用分段函數形式表示G（x），再由一次函數、對數函數的單調性，可得a的范圍；

（3）由題意，討論x＞a，x＝a，x＜a，求得F（x）的解析式，再結合二次函數的圖象與性質，分a、a和a的4種情況進行討論，最后綜合可得F（x）的最小值．

（1）當x＞1時，x-1＞0，1-x＜0，可得f（x）=（x2-2x+3）+0（1-x2）=x2-2x+3；

當x=1時，f（x）=2；

當x＜1時，x-1＜0，1-x＞0，可得f（x）=1-x2．

即有f（x）=；

（2）G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+logaxh（x-1）

=，

由y=G（x）是R上的減函數，

可得，

解得≤a＜；

（3）F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），

當x＞a時，x-a＞0，可得F（x）=x2+x-a+1；

若a≥-，可得F（x）在x＞a遞增，可得F（x）＞F（a）=a2+1；

若a＜-，可得F（x）的最小值為F（-）=-a；

當x=a時，可得F（x）=2（a2+1）；

當x＜a時，x-a＜0，a-x＞0，則F（x）=x2-x+a+1．

若a≥，可得F（x）在x＜a的最小值為F（）=a+；

若a＜，可得F（x）在x＜a遞減，即有F（x）＞F（a）=a2+1．

①當a≥時，F（x）在區(qū)間（-∞，-）上單調遞減，

在區(qū)間（-，a）上單調遞增，在區(qū)間（a，+∞）上單調遞增，

可得F（-）為最小值，且為-+a+1=a+；

②當-＜a＜時，F（x）在區(qū)間（-∞，a）上單調遞減，在區(qū)間（a，+∞）上單調遞增．

F（x）的最小值為F（a）=a2+1；

③當a≤-時，在區(qū)間（-∞，a）上單調遞減，在區(qū)間（a，-）上單調遞減，

在區(qū)間（-，+∞）上單調遞增．

所以F（x）的最小值為F（-）=-a+；

綜上所述，得當a≤-時，F（x）的最小值為-a+；

當a≥時，F（x）的最小值為為a+；

當-＜a＜時，F（x）的最小值為F（a）=a2+1．