Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，短軸長為，離心率為.

(I)求橢圓的方程;

(II) 為橢圓上滿足的面積為的任意兩點，為線段的中點，射線交橢圓與點，設，求實數的值.

 

Answer 1

【答案】

(I)         (Ⅱ)  或

【解析】(I)設橢圓的方程為,

由題意知，解得

因此橢圓的方程為

(II)（1）當兩點關于軸對稱時，

設直線的方程為，由題意知或，

將代入橢圓方程得.

所以

解得或.

又，

因為為橢圓上一點，所以，或

又因為所以或

（2）當兩點關于軸不對稱時，

設直線的方程為，將其代入橢圓方程得

.

設，由判別式可得，

此時

所以，

因為點到直線的距離為，

所以

令，則

解得或，即或.

又，

因為為橢圓上一點，所以，

即，所以或

又因為所以或

經檢驗，適合題意.

綜上可知或

【考點定位】本題基于橢圓問題綜合考查橢圓的方程、直線和橢圓的位置關系、平面向量的坐標運算等知識，考查方程思想、分類討論思想、推理論證能力和運算求解能力.第一問通過橢圓的性質確定其方程，第二問根據兩點關于軸的對稱關系進行分類討論，分別設出直線的方程，通過聯立、判斷、消元等一系列運算“動作”達成目標.本題極易簡單考慮設直線的形式而忽略斜率不存在的情況造成漏解.在聯立方程得到后，后續運算會多次出現這一式子，換元簡化運算不失為一種好方法，令，搭建了與的橋梁，使坐標的代入運算更為順暢，使“化繁為簡”這一常用原則得以完美呈現.