Question

【題目】已知橢圓：的右焦點為，過作互相垂直的兩條直線分別與相交于，和，四點.

（1）四邊形能否成為平行四邊形，請說明理由；

（2）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析.

（2）.

【解析】

試題分析：（1）若四邊形為平行四邊形，則四邊形為菱形, ∴與在點處互相平分，又的坐標為顯然這時不是平行四邊形．

（2）直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為,與橢圓方程聯立，消去，利用韋達定理及弦長公式，

令,則．考慮當直線的斜率不存在時和直線的斜率為零時情況得到的最小值

試題解析：設點

(Ⅰ)若四邊形為平行四邊形，則四邊形為菱形，

∴與在點處互相平分，又F的坐標為,由橢圓的對稱性知垂直于軸，則垂直于軸，

顯然這時不是平行四邊形．

∴四邊形不可能成為平行四邊形.

(Ⅱ) 當直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為

由消去得，

∴

∴同理得，.∴，

令,則．

當直線的斜率不存在時，則

當直線的斜率為零時，則

,∴的最小值為.