Question

（2x+4）²⁰¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰，則a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、不能確定

Answer 1

分析：分別給二項(xiàng)式中的x賦值1，-1，兩式相加求出a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀，將2²⁰⁰⁹寫成（3-1）²⁰⁰⁹，利用二項(xiàng)式定理求出其展開式，由展開式的形式判斷出被3除的余數(shù)．

解答：解：令x=1得6²⁰¹⁰=a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀
令x=-1得2²⁰¹⁰=a₀-a₁+a₂-a₃…+a₂₀₁₀
兩式相加得a0+a1+a2+…+a2010=

62010+22010

2

=2²⁰⁰⁹•3²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹
∵2²⁰⁰⁹=（3-1）²⁰⁰⁹=C₂₀₀₉⁰3²⁰⁰⁹+C₂₀₀₉¹3²⁰⁰⁸（-1）+…+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸3¹（-1）²⁰⁰⁸+C₂₀₀₉²⁰⁰⁹（-1）²⁰⁰⁹
∴2²⁰⁰⁹被3除的余數(shù)的是2
∴2²⁰⁰⁹•3²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹被3除的余數(shù)是2
即a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀被3除的余數(shù)是2
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過(guò)賦值法求展開式的系數(shù)和、利用二項(xiàng)式定理的展開式求余數(shù)問(wèn)題．