Question

如圖，橢圓C：，A₁、A₂為橢圓C的左、右頂點．
（Ⅰ）設F₁為橢圓C的左焦點，證明：當且僅當橢圓C上的點P在橢圓的左、右頂點時|PF₁|取得最小值與最大值；
（Ⅱ）若橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．求橢圓C的標準方程；
（Ⅲ）若直線l：y=kx+m與（Ⅱ）中所述橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且滿足AA₂⊥BA₂，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）設點P的坐標（x，y），再構造函數f（x）=|PF₁|²，代入兩點間的距離公式并進行化簡，利用二次函數的性質和x的范圍，求出函數的最值以及對應的x的取值，即得到證明；
（Ⅱ）由已知與（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，再由b²=a²-c²求出b，進而求出橢圓的標準方程；
（Ⅲ）假設存在滿足條件的直線，再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線方程和橢圓方程進行整理，化簡出一個二次方程，再由題意和韋達定理列出方程組，根據題意得，代入后得列出關于m的方程，進行化簡、求解，注意對應題意進行驗證．
解答：解：（Ⅰ）設p（x，y），則，且F₁（-c，0），
設f（x）=|PF₁|²，則f（x）=（x+c）²+y²=，
∴對稱軸方程，由題意知，恒成立，
∴f（x）在區間[-a，a]上單調遞增，
∴當x取-a、a時，函數分別取到最小值與最大值，
∴當且僅當橢圓C上的點P在橢圓的左、右頂點時|PF₁|取得最小值與最大值；
（Ⅱ）由已知與（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程為．
（Ⅲ）假設存在滿足條件的直線l，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立得，（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，則
又∵，
∵橢圓的右頂點為A₂（2，0），AA₂⊥BA₂，∴=-1，
即，∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴，
化簡得，7m²+16mk+4k²=0，
解得，m₁=-2k，，且均滿足3+4k²-m²＞0，
當m₁=-2k時，l的方程為y=k（x-2），直線過定點（2，0），與已知矛盾；
當時，l的方程為，直線過定點．
所以，直線l過定點，定點坐標為．
點評：本題考查橢圓的方程和橢圓簡單的幾何性質，以及直線與橢圓的位置關系，同時也考查了利用構造函數的方法處理最值問題，主要利用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的數學思想，考查解決問題的能力和運算能力，最后對應題意進行驗證這是易錯的地方．