Question

已知函數a、c∈R滿足條件：①f（1）=0；②對一切x∈R，都有f（x）≥0．
（Ⅰ）求a、c的值；
（Ⅱ）是否存在實數m，使函數g（x）=f（x）-mx在區間[m，m+2]上有最小值-5？若存在，請求出實數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先函數是二次函數，再利用二次函數的性質解決對一切x∈R，都有f（x）≥0；根據f（1）=0得 ，即，從而可得  ，進而可得，，
另解：首先函數是二次函數，再利用二次函數的性質解決對一切x∈R，都有f（x）≥0；由f（1）=0，得 ，代入上式得  ，根據 ，可得，從而有 ，故可求a、c的值；
（Ⅱ）．該函數圖象開口向上，且對稱軸為x=2m+1．假設存在實數m使函數在區間[m，m+2]上有最小值-5．根據函數的對稱軸與區間的關系進行分類討論，從而可求m的值
解答：解：（Ⅰ）當a=0時，．
由f（1）=0得：，即，∴．
顯然x＞1時，f（x）＜0，這與條件②相矛盾，不合題意．
∴a≠0，函數是二次函數．                                            …（2分）
由于對一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函數的性質可得

即（*）…（4分）
由f（1）=0得 ，即，代入（*）得  ．
整理得 ，即．
而，∴．
將代入（*）得，，
∴．                                                                           …（7分）
另解：（Ⅰ）當a=0時，．
由f（1）=0得  ，即，
∴．
顯然x＞1時，f（x）＜0，這與條件②相矛盾，
∴a≠0，因而函數是二次函數．                                        …（2分）
由于對一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函數的性質可得

即 …（4分）
由此可知  a＞0，c＞0，
∴．
由f（1）=0，得 ，代入上式得  ．
但前面已推得  ，
∴．
由   解得 ．                                                       …（7分）
（Ⅱ）∵，∴．
∴．
該函數圖象開口向上，且對稱軸為x=2m+1．                                                …（8分）
假設存在實數m使函數在區間[m，m+2]上有最小值-5．
①當m＜-1時，2m+1＜m，函數g（x）在區間[m，m+2]上是遞增的，
∴g（m）=-5，
即     ，
解得  m=-3或m=．
∵＞-1，∴m=舍去．                                                          …（10分）
②當-1≤m＜1時，m≤2m+1＜m+1，函數g（x）在區間[m，2m+1]上是遞減的，而在區間[2m+1，m+2]上是遞增的，
∴g（2m+1）=-5，
即    ．
解得   m=或m=，均應舍去．                                    …（12分）
③當m≥1時，2m+1≥m+2，函數g（x）在區間[m，m+2]上是遞減的，
∴g（m+2）=-5，
即    ．
解得  m=或m=，其中m=應舍去．
綜上可得，當m=-3或m=時，函數g（x）=f（x）-mx在區間[m，m+2]上有最小值-5．
…（14分）
點評：本小題主要考查函數、方程、不等式等基本知識，考查綜合運用數學知識分析和解決問題的能力，本題考查的重點是函數的解析式的求解與函數最值的研究，解題的關鍵是合理運用函數的性質，正確分類，同時考查學生分析解決問題的能力，有一定的綜合性．