Question

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn).

（1）求函數(shù)a的取值范圍；

（2）記函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為，，且，證明對任意實(shí)數(shù)，都有不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見詳解.

【解析】

（1）將函數(shù)有兩個極值點(diǎn)的問題，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有兩個零點(diǎn)的問題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像有交點(diǎn)的問題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得臨界狀態(tài)時直線的斜率即可求得參數(shù)范圍；

（2）根據(jù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為求證，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性，即可證明.

（1）依題

有兩個不同的極值點(diǎn)，即有兩個不等實(shí)根.

亦即函數(shù)與圖象在上有兩個不同交點(diǎn)

若令過原點(diǎn)且與圖象相切的直線斜率為k，則只需

設(shè)切點(diǎn)為，則，而

故，于是，所以

（2）證明：令則

由時，，單調(diào)遞增

時，，單調(diào)遞減

知是的極大值點(diǎn)

故且

等價于

∵，∴

故只需證即可

令，

則

故

∵∴，，∴

∴在單調(diào)遞增∴

∴∵∴

又∵∴

又∵，且在單調(diào)遞增

∴∴即原不等式成立