Question

三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，側棱AA₁⊥底面ABC．AC⊥CB，D為AB中點，CB=1，AC=

3

，A₁A=

3

．
（I）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（II）求三棱錐C₁-A₁DC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證BC₁∥平面A₁CD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BC₁與平面A₁CD內(nèi)一直線平行，連接AC₁，設AC₁∩A₁C=E，連接DE，根據(jù)中位線定理可知ED∥DC₁，又ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，滿足定理所需條件；
（II）在平面ABC中過點D作AC的垂線，交AC于H．根據(jù)面面垂直的性質可知DH⊥面ACC₁A₁，V_D-AC1C=

1

3

•DH•S_△AC1C，由等積法可得V_C1-A1DC=V_D-AC1C即可求出所求．

解答：（Ⅰ）證明：連接AC₁，設AC₁∩A₁C=E，連接DE
∵A₁B₁C₁-ABC是三棱柱，
側棱AA₁⊥底面ABC．
且AC=AA₁=

3

∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中點，
又D為AB中點
∴ED∥DC₁
又ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD
∴BC₁∥平面A₁CD
（II）在平面ABC中過點D作AC的垂線，交AC于H．由于
底面ABC⊥面ACC₁A₁，
且AC為兩平面交線，
∴DH⊥面ACC₁A₁．
△ABC中，AB=

12+( 3 )2

=2，所以∠BAC=30°，且AD=1．
在△ABC中，HD=ADsin30°=

1

2

由于S_△AC1C=

3

2

，
所以V_D-AC1C=

1

3

•DH•S_△AC1C=

1

3

•

1

2

•

3

2

=

1

4

∴由等積法可得V_C1-A1DC=V_D-AC1C=

1

4

．

點評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及三棱錐的體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn)，值得重視．