Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖如圖所示，D、E分別為棱CC₁和B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A₁D與AB所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)C到平面A₁BD的距離；
（3）在AC上是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥平面A₁BD，若存在確定其位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩條直線所在的向量，進(jìn)而利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出空間向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的夾角．
（2）求出平面的法向量以及平面的一條斜線所在的向量，再求出斜線所在的向量在法向量上射影，進(jìn)而得到答案．
（3）設(shè)F（x，0，0），由E（0，1，2），可求出向量

EF

，則

EF

為平面A₁BD的一個(gè)法向量，由此構(gòu)造方程，求出x值，即可得到F點(diǎn)的位置．

解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），D（0，0，1），A₁（0，2，2），A（0，2，0），
所以

A1D

=(0，-2，-1)，

AB

=(2，-2，0)，
所以cos＜A₁D，AB＞=|

A1D • AB

| A1D || AB |

|=

10

5

．

所以異面直線A₁D與AB所成角的余弦值為

10

5

．
（2）由（1）可得：

A1D

=(0，-2，-1)

，BD

(-2，0，1)，
設(shè)平面A₁DB的法向量為

n1

=(x，y，z)，
則

-2y-z=0 -2x+z=0

，取x=-1
所以可得：

n1

=(-1，1，-2)，
又因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

CD

=(0，0，1)，
所以cos＜n₁，

CD

＞=

n1• CD

|n1|•| CD |

=

2

6 •1

=

2 6

6

，
所以d=|

CD

|•

2 6

6

=

2 6

6

．
所以點(diǎn)C到平面A₁BD的距離

2 6

6

．
（3）存在F為AC的中點(diǎn)，使EF⊥平面A₁BD
設(shè)F（0，y，0），由E（1，0，2）得

EF

=(-1，y，-2)
若EF⊥平面A₁BD，則

EF

∥

n1

由

n1

=(-1，1，-2)得y=1，
∴F為AC的中點(diǎn)
∴存在F為AC的中點(diǎn)，使EF⊥平面A₁BD

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用空間向量夾角空間夾角與空間距離等問題，并且考查由三視圖還原實(shí)物圖，以及基本運(yùn)算能力．