Question

【題目】

有一個側面是正三角形的四棱錐如圖（1），它的三視圖如圖（2）．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求平面與正三角形側面所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由三視圖可知，四棱錐中平面，四邊形為直角梯形，在底面證出，又即得證.

（Ⅱ）由三視圖可知，四棱錐的正三角形側面為面建立空間直角坐標系，找出兩個面的法向量，找向量的夾角的余弦值即得解

試題解析：

（Ⅰ）由三視圖可知，四棱錐中平面，

同時， ，四邊形為直角梯形．

過點作于，則, ．

∴, ，

∴，故．

∵平面, 平面,∴

∵，∴平面．

（Ⅱ）由三視圖可知，四棱錐的正三角形側面為面．

為正三角形，∴．在中， ．

以為原點， 分別為軸建立空間直角坐標系，

有．

由（Ⅰ）知是平面的一條法向量．

向量，

設平面的法向量為，由，得的一組解．

設平面與正三角形側面所成二面角為，則