Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ax³-2bx²+cx+4d(a,b,c,d∈R)的圖象關于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值-.

(1)求f(x)的解析式；

(2)當x∈［-1,1］時，圖象是否存在兩點，使得此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論；

(3)若x₁,x₂∈［-1,1］時，求證：|f(x₁)-f(x₂)|≤.

Answer 1

解析：(1)∵函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，∴f(0)=0,即4d=0,∴d=0.

又f(-1)=-f(1),即-a-2b-c=-a+2b-c,∴b=0，

∴f(x)=ax³+cx,f′(x)=3ax²+c.

∵x=1時，f(x)取極小值-,

∴3a+c=0且a+c=-.

解得a=,c=-.

∴f(x)= x³-x.

 (2)當x∈［-1，1］時，圖象上存在這樣的兩點使得結論成立.

假設圖象上存在兩點A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，使得過此兩點處的切線互相垂直，則由f′(x)=(x²-1)，

知兩點處的切線斜率分別為k₁=(x₁²-1),k₂=(x₂²-1),

且（x₁²-1）(x₂²-1)=1.(*)

∵x₁,x₂∈［-1，1］，∴x₁²-1≤0,x₂²-1≤0.

∴（x₁²-1）(x₂²-1)≥0此與（*）矛盾，故假設不成立.

(3)證明：f′(x)=（x²-1）,令f′(x)=0,得x=±1，

∴x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)時,?f′(x)＞0；x∈(-1,1)時，f′(x)＜0，

∴f(x)在［-1，1］上是減函數(shù)，且f_max（x）=f(-1)=,f_min(x)=f(1)=-.

∴在［-１，１］上｜f(x)｜≤,于是x₁,?x₂∈［-1，1］時，|f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤+=.